Арябхата ( 476 г. - 550 г.н.е. ) е един от най-великите математици и астрономи на древна Индия. Най-известните му произведения са Арябхатия (499 г.) и Аря-Сидханта. Неговите приноси са основно в сферичната тригонометрия и астрономията. Той изчислява размерите на Земята и Луната, определя продължителността на денонощието на 23 часа, 56 минути и 41 секунди и обяснява затъмненията.
Арябхата е роден около 476 г. н.е. в Паталипура или Кусумапура, сега известен като Патна. Други теории предполагат, че той е от Керала. Предполага се, че е учил в Кусумапура. Там той изучавал както индуистката, така и будистката традиция. Смята се също, че е станал ръководител на образователен институт там, а в Патлипура е бил в университета Наланда. Освен това се предполага, че той е създал обсерватория в Бихар.
Арябхата е автор на няколко трактата по математика и астрономия, някои от които са загубени. Основният му труд Арябхатия, сборник по математика и астрономия, е широко споменаван в индийската математическа литература и е оцелял до днес. Математическата част на Арябхатия обхваща аритметика, алгебра, равнинна тригонометрия и сферична тригонометрия. Също така съдържа непрекъснати дроби, квадратни уравнения, редове на сумите на степените на естествени числа и таблица на синусите.
Аря-Сиддханта, изгубена работа за астрономически изчисления, е известна чрез писанията на съвременника на Арябхата, Варахамихира и по-късните математици, включително Брахмагупта и Бхаскара I. Тази работа изглежда се основава на по-старата Сурия Сиддханта и използва полунощ - отчитане на деня, за разлика от изгрев в Арябхатия. Съдържа описание на няколко астрономически инструмента: гномон (шанку-янтра), инструмент за сянка (chhAyA-yantra), евентуално устройства за измерване на ъгъл, полукръг и кръг (dhanur-yantra / chakra-yantra), цилиндрична пръчка (yasti-yantra), устройство с форма на чадър, наречено chhatra-yantra и водни часовници от поне два вида, с форма на лък и с цилиндрична форма.
Трети текст, който може да е оцелял в арабски превод, е Al ntf или Al-nanf. Твърди се, че е превод от Арябхата, но санскритското име на това произведение не е известно. Вероятно датира от 9-ти век, споменава се от персийския учен и летописец на Индия Абу Райхан ал-Бируни.
Арябхата умира през 550 г. н.е. Тогава той е бил на 74 години. Но точните места на последния му период от живота все още са неизвестни на света.
Арябхатия е трактат, който включва различни факти, свързани с индуистката математика и астрономия, появили се през онези времена. Трактатът се състои от четири глави, които се занимават със синусови таблици и астрономически константи. Включва правила за изчисляване на дължините на планетите чрез използване на епицикли и ексцентрици, както и правила, свързани с тригонометрията и изчисляването на затъмненията. В Арябхатия има раздел Ганита, който включва различни иновативни методи за изчисляване на дължините на хордите на окръжности чрез използване на метода на половин хорда, за разлика от гърците, които са използвали метода на цялата хорда.
Астрономическите изчисления и изводи, предложени от Aрябхата, са изключителни поради факта, че той не е имал модерно оборудване и инструменти, за да ги направи.
Със своята отдаденост и упорита работа той разрешава различните мистерии за слънчевата система.
Стига до заключението, че земята има кръгла форма и се върти около собствената си ос, което обяснява съществуването на деня и нощта.
Много суеверни вярвания са оспорени от него и той предоставя научни факти, за да докаже, че са погрешни.
Той доказва, че луната няма светлина и свети, защото отразява светлината от слънцето.
Той също така обяснява научно слънчевите и лунни затъмнения.
Арябхата използва епицикли по подобен начин на гръцкия философ Птолемей, за да илюстрира непоследователното движение на някои планети.
Арябхата използва система за представяне на числа в „Арябхатия“.
В тази система той дава стойности на 1, 2, 3,….25, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, използвайки 33 съгласни от индийската азбука.
За да обозначи по-големите числа като 10 000, 100 000, той използва тези съгласни, последвани от гласна.
Всъщност с помощта на тази система числата до $${10}^{18}$$ могат да бъдат представени с азбучен запис.
Френският математик Жорж Ифра твърди, че позиционната бройна система е била известна на Арябхата и за да докаже твърдението си, той пише:
"Изключително вероятно е Арябхата да е знаел знака за нула и цифрите от позиционната бройна система.
Това предположение се основава на следните два факта:
първо, изобретяването на неговата азбучна система за броене би било невъзможно без нулата или позиционната бройна система;
второ, той извършва изчисления на квадратни и кубични корени, които са невъзможни, ако въпросните числа не са записани според позиционната система и използването на нулата."
В тригонометрията Арябхата дава таблица със синуси под името ardha-jya, което означава „половин хорда“. Тази синусова таблица е първата таблица в историята на математиката и е използвана като стандартна таблица от древна Индия. Това е таблица на първите разлики на стойностите на тригонометрични синуси, изразени в ъглови минути. С помощта на тази синусова таблица можем да изчислим приблизителните стойности на интервали от 90º⁄24 = 3º45´. Когато арабските автори превеждат текстовете на арабски, те заменят „ардха-джя“ с „джайб“. В края на 12-ти век, когато Герардо от Кремона превежда тези текстове от арабски на латински, той заменя арабското „jaib“ с латинската дума sinus (синус), което означава „залив“.
Арябхата работи върху приближението за Пи и може би е разбрал, че Пи е ирационално число. Във втората част на Aryabhatiyam той пише "Добавете четири към 100,
умножете по осем и след това добавете 62 000. С това правило може да се приближи обиколката на кръг с диаметър 20 000."
С други думи, π = 62832/20000 = 3,1416, правилно до пет цифри.
В Ganitapada той дава формула за площта на триъгълник: „Площта на триъгълника е произведението от перпендикуляра към една от страните и половината на тази страна“.
Арябхата предоставя прости решения на сложни за времето математически проблеми като сумиране на първите n цели числа, квадратите на тези цели числа, както и техните кубове.
$$1+2+3+...+n={{n(n+1)}\over2}$$ $$1^2+2^2+3^2+...+n^2={{n(n+1)(2n+1)}\over6}$$ $$1^3+2^3+3^3+...+n^3={\bigg({{n(n+1)}\over2}\bigg)^2}$$Въведете число по-голямо от 1 и по-малко от 100 000 и натиснете бутона "Старт":
Арябхата предлага следния алгоритъм за намиране на квадратен корен от естествено число.
"След като извадите най-големия възможен квадрат от последното нечетно място и
след това запишете квадратния корен на изваденото число в реда на квадратния корен),
винаги разделете четното място (стоящо вдясно) на удвоения квадратен корен. След това, като извадите квадрата (на частното) от нечетното място (стоящо вдясно),
поставете частното на следващото място (т.е. вдясно от числото, което вече е записано в реда на квадратния корен).
Това е корен квадратен. (Повторете процеса, ако все още има цифри отдясно)."
Пример: Ще приложим алгоритъма, за да намерим $$\sqrt{119025}$$
Стъпка 1: Маркирайте цифрите на нечетна позиция (с шапка) и тези на четна позиция (с тире), като започнете от дясната страна (първата позиция), която винаги се счита за нечетна: $${\overline{1}}\ {\hat{1}}\ {\overline{9}}\ {\hat{0}}\ {\overline{2}}\ {\hat{5}}$$
Стъпка 2: Намерете цифрата на последната нечетна позиция (в този случай втората цифра отляво) и запишете числото, което се изписва до тази позиция (=11): $${\color{red}{\overline{1}}}\ {\color{red}{\hat{1}}}\ {\overline{9}}\ {\hat{0}}\ {\overline{2}}\ {\hat{5}}$$
Стъпка 3: Намерете най-близкия по-малък квадрат на това число (в този случай 32 = 9) и извадете от
същото число (получава се 2). Запишете неговия корен квадратен (= 3) като първа цифра на резултата.
\({\overline{1}}\ {\hat{1}}\ {\overline{9}}\ {\hat{0}}\ {\overline{2}}\ {\hat{5}} \space \space \space \space {Временен \space резултат: 3}\)
\(\underline{-9}\)
\(\space \space \ {2}\)
Стъпка 4: Запишете следващата цифра на числото (в случая 9) до разликата 2. Получава се числото 29. Удвояваме временния резултат 3 (получава се 6).
Намираме цялата част от делението на числото 29 с 6 (получава се 4). Умножаваме 4 с 6 (получава се 24). Записваме го под 29 и изваждаме (получава се 5).
Цифрата 4 записваме във временния резултат отдясно на цифрата 3.
\({\overline{1}}\ {\hat{1}}\ {\color{red}{\overline{9}}}\ {\hat{0}}\ {\overline{2}}\ {\hat{5}} \space \space \space \space {Временен \space резултат: 3}\ {\color{red} {4}}\)
\(\underline{-9}\)
\(\space \space \ {2}\ {9}\)
\(\underline{{-2}\ {4}}\)
\(\space \space \space \space \space \ {5}\)
Стъпка 5: Запишете следващата цифра на числото (в случая 0) до резултата от предишното изваждане, за да образувате 50.
От числото 50 изваждаме квадрата на числото образувано от последната цифра във временния резултат (това е числото 42 = 16).
Получаваме 34 .
\({\overline{1}}\ {\hat{1}}\ {\overline{9}}\ {\color{red}{\hat{0}}}\ {\overline{2}}\ {\hat{5}} \space \space \space \space {Временен \space резултат: 3}\ {\color{red} {4}}\)
\(...........\)
\(\underline{{-2}\ {4}}\)
\(\space \space \space \space \space \ {5}\ {0}\)
\(\space \space \ \underline{{-1}\ {6}}\)
\(\space \space \space \space \space \ {3}\ {4}\)
Стъпка 6: Повтаряме стъпки 4 и 5, докато свършат цифрите на числото. Накрая трябва да получите разлика 0, а резултатът е 345.
\({\overline{1}}\ {\hat{1}}\ {\overline{9}}\ {\hat{0}}\ {\overline{2}}\ {\hat{5}} \space \space \space \space {Краен \space резултат: 3}\ {4}\ {5}\)
\(\underline{-9}\)
\(\space \space \ {2}\ {9}\)
\(\underline{{-2}\ {4}}\)
\(\space \space \space \space \space \ {5} \ {0}\)
\(\space \space \space \underline{{-1}\ {6}}\)
\(\space \space \space \space \space \ {3}\ {4}\ {2}\)
\(\space \space \space \underline {{-3}\ {4}\ {0}}\)
\(\space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \ {2} \ {5}\)
\(\space \space \space \space \space \space \space \space \space \underline {{-2}\ {5}}\)
\(\space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \ {0}\)