Img

Евклид Александрийски

Евклид е древногръцки математик живял в египетския град Александрия при управлението на Птолемей. Той е наричан "Баща на геометрията" и е автор на трактата "Елементи", един от най-влиятелните трудове в историята на математиката, служил като основен учебник при преподаването на математика и най-вече на геометрия от времето на своята поява до края на 19 век и началото на 20 век.

Биография

Точната дата, на която е роден Евклид, не е известна. Предполага се, че това е станало около 325 г. пр. н. е. в Александрия. Някои изследователи смятат, че бъдещият математик е роден в Тир и е прекарал по-голямата част от живота си в Дамаск. Вероятно Евклид произхожда от богато семейство, тъй като учи в атинската школа на Платон (по това време такова образование е достъпно само за богати граждани).
За живота на Евклид се знае малко. Информацията, достигнала до наши дни, е оскъдна и често противоречива. Предполага се, че е пристигнал в Александрия около 10 години след завладяването на града от Александър Велики. Евклид е живял и работил в Александрия през периода 367-282 година преди новата ера. Този период съвпада с управлението на Египет от Птолемей I.

Анекдот, свързан с крал Птолемей I, е следният: Веднъж цар Птолемей го попитал няма ли по-лесен начин за изучаване на геометрията, освен този, изложен в "Елементи", на което Евклид отговорил: "В геометрията царски пътища няма."

Като цяло, Евклид е изобразен в историята като спокоен, много добър и скромен човек. Евклид напълно е разбрал огромната стойност на математиката и е бил убеден, че самото знание е безценно.

Има и друг анекдот, който е достигнал до нас благодарение на доиографа Хуан де Естобео. По време на урок по геометрия, един ученик попитал Евклид каква полза ще има от този урок. Евклид му отговорил, че знанието само по себе си е най-безценният елемент, който съществува. Тъй като ученикът очевидно не разбирал и не се съгласявал с думите на своя учител, Евклид инструктирал своя роб да му даде няколко златни монети, подчертавайки, че ползата от геометрията е много по-трансцендентна и дълбока от паричната награда. В допълнение, математикът казва, че не е необходимо да се печели от всяко знание, придобито в живота; фактът, че придобиването на знания е само по себе си най-голямата печалба. Това е било виждането на Евклид по отношение на математиката и по-специално геометрията.

Цитати от Евклид

"Няма царски път към геометрията"

"Законите на природата представляват математическите мисли на Бог."

"Едно твърдение, което може да бъде прието без доказателства, може също така да бъде отхвърлено без доказателства."

Любопитно

Името на Евклид означава „славен“ от гръцки.
Сборникът „Елементи“ е най-издаваната книга в света след Библията.
Сборникът „Елементи“ е успял да вдъхнови учените Николай Коперник, Галилео Галилей, Йохан Кеплер, Алберт Айнщайн и Исак Нютон.

Елементите на Евклид

Евклид е особено известен с труда си "Елементи", който представлява сборник от 13 книги. Сборникът съдържа дефиниции, постулати, теореми и доказателства на теоремите. Знае се, че голяма част от информацията, включена в сборника, е базирана на трудове на други математици, живели по-рано, включително Питагор , Хипократ, Тевдий, Теетет и Евдокс.

Доказателствата на повечето от теоремите са дело на Евклид. Много от теоремите на Евклид са били свързани с построяване. Евклид е описвал изключително подробно построението на всеки двуизмерен обект с помощта на линия и пергел.

Trulli

До ден днешен сборникът "Елементи" се смята за един от най-влиятелните трудове в областта на математиката. Сборникът се е използвал като учебник до края на XIX и началото на XX век.

Аксиоми на Евклид

1. Нещата, които са равни на едно и също нещо, са равни помежду си.

2. Ако равните се добавят към равни, сумите са равни.

3. Ако равните се извадят от равни, остатъците (разликите) са равни.

4. Нещата, които съвпадат едно с друго, са равни помежду си.

5. Цялото е по-голямо от частта.

Геометрични постулати на Евклид

1. Възможно е да се начертае права линия от всяка точка до всяка точка.

2. Възможно е да продължите една крайна права линия непрекъснато в права линия (т.е. отсечката може да бъде продължена от която и да е от нейните крайни точки, за да образува произволно голяма линия).

3. Възможно е да се начертае окръжност с произволен център и радиус.

4. Всички прави ъгли са равни.

5. Ако една права линия пада върху две прави линии така, че вътрешните ъгли от едната страна са заедно по-малки от два прави ъгъла, то правите линии, ако се продължат безкрайно, се срещат от страната, от която ъглите са по-малки от два прави ъгъла.

Съвременната формулиравка на петия постулат е следната:
През точка, нележаща на дадена права, минава само една права, успоредна на дадената.(аксиома на успоредните прави)


Динамична конструкция на петия постулат

Движете с мишката точка A, за да променяте положението на правата.

Неевклидова геометрия

В продължение на 2000 години след Евклид математиците се опитват или да докажат петия постулат като теорема (базирана на другите постулати), или да го модифицират по различни начини. Тези опити достигат кулминацията си, когато руснакът Николай Лобачевски (1829) и унгарецът Янош Боляй (1831) независимо публикуват описание на геометрия, която с изключение на паралелния постулат удовлетворява всички постулати на Евклид и общи понятия. Тази геометрия се нарича хиперболична геометрия и е първата неевклидова геометрия.

Днес са известни много неевклидови геометрии, създадени в началото на XIX век. Вече знаем, че Евклидовите аксиоми не са в сила при движения със скорости, доближаващи скоростта на светлината. Доказва го общата теория на относителността, потвърдено е и от наблюдения и опити. Те са валидни само за свойствата на физическото пространство в гравитационно поле.

Според съвременните възгледи във физиката, геометрията на Лобачевски, както и вдъхновената от него геометрия на Риман, описват по-добре свойствата на пространството.

Алгоритъм на Евклид

Алгоритъмът на Евклид е метод за бързо намиране на най-големият общ делител (НОД) на две цели числа.

Припомнете си, че най-големият общ делител (НОД) на две цели числа А и В е най-голямото цяло число, което е делител едновременно на А и на В.

Алгоритъмът е следния:

Ако имаме 2 естествени числа a и b (a>b), то може да запишем a = b.q + r, където r е остатъкът от делението на a на b.
НОД се намира като всеки път се дели по-голямото число на по-малкото, като същото се повтаря като се вземе по-малкото число и остатъкът. Това се повтаря докато се намери остатък който е 0, то тогава търсеното число е делителят.

Пример:
НОД(16,12) = НОД(12,остатъка от делението на 16 на 12)=НОД(12,4)
НОД(12,4) = НОД(4,остатъка от делението на 12 на 4)=НОД(4,0)
НОД(4,0) => 4

Задачата винаги има решение и тук не може да се получи безкраен цикъл. Доказано е, че никога не се правят повече от 5 * (броя на цифрите на по-малкото число) стъпки.

Визуализация на алгоритъма

Променете стойностите на a и b. Какво се случва с визуализацията, когато промените a и b? Какво се случва с алгоритъма, когато промените a и b?


Прости и перфектни числа

Евклид е работил и в областта на теорията на числата. Той доказва Основната теорема на аритметиката (или уникалната теорема за разлагане на множители):

Всяко положително цяло число, по-голямо от 1, може да бъде записано като произведение на прости числа (или само по себе си е просто число).

Така например: 21 = 3 x 7; 113 = 1 х 113; 1200 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 5 x 5; 6936 = 2 x 2 x 2 x 3 x 17 x 17; и т.н.

Неговото доказателство е първият известен пример за доказателство чрез противоречие (доказателство, при което признаването на първоначалната предпоставка за неправилно води до противоречие. ).

Въведете число по-голямо от 1 и по-малко от 100 000 и натиснете бутона "Старт":

Евклид е първият, който доказва, че има безброй много прости числа. Основата на неговото доказателство, често известна като теоремата на Евклид, е, че за всеки даден (краен) набор от прости числа, ако ги умножите всички заедно и след това добавите едно, тогава към множеството е добавено ново просто число (напр. , 2 x 3 x 5 = 30 и 30 + 1 = 31, просто число) процес, който може да се повтаря за неопределено време.

Евклид е работил и върху перфектните числа, които той нарича "перфектни", "идеални" или "завършени".

Едно число е перфектно, ако е равно на сумата на целите си делители, като самото число е изключено от делителите. Най-малкият пример за перфектно число е 6 = 1+2+3. Евклид доказва, че четните перфектни числа могат да бъдат намерени, като използваме уравнението: 2n-1(2n-1), където n e просто число, а 2n-1 е мерсеново просто число.

Мерсеновите прости числа се определят като прости числа, които може да бъдат открити със същата формула 2n-1.

Ако вземем 3 – просто число: с уравнението 23-1(23-1) получаваме 28, което е второто перфектно число. Забележете, че 23-1 = 7 e просто число, което е задължително условие. Теоремата днес се нарича теорема на Евклид-Ойлер, тъй като две хилядолетия по-късно Ойлер доказва, че само по този начин могат да бъдат открити четни перфектни числа.

До ден днешен не е ясно дали съществуват нечетни перфектни числа и дали перфектните числа са безкрайни.

Демонстрация и математика

Демонстрацията е фундаментална в математиката. Смята се, че Евклид разработва процесите на математическа демонстрация по начин, който продължава до днес и който е от съществено значение в съвременната математика..

Методът на Евклид за построяване на равностранен триъгълник върху дадена отсечка AB, използвайки само линийка и пергел е предложение 1 в книга 1 на "Елементи".

Да се построи равностранен триъгълник върху дадена отсечка

Дадено: Отсечка AB

Да се построи: Равностранен триъгълник върху отсечката AB



Построяваме:

1. Окръжност k с център точка A и радиус AB;

2. Окръжност k1 с център точка B и радиус AB;

3. C - пресечна точка на k и k1.

5. Отсечките AC и BC.

Тъй като точка A е центърът на окръжността k, следователно AC = AB. Също, тъй като точка B е центърът на окръжността k1, следователно BC = BA. Следователно всяка от отсечките AC и BC е равна на AB.
И нещата, които са равни на едно и също нещо, също са равни едно на друго, следователно AC също е равно на BC. Следователно трите отсечки AC, AB и BC са равни помежду си.
Следователно триъгълникът ABC е равностранен и е построен върху дадената отсечка AB.