Биография

Леонардо Фибоначи е роден около 1170 г. в Пиза в семейството на богатия търговец Гулиелмо деи Боначи. Докато е жив, самият Леонардо използва името Леонардо Биголо, като едва след смъртта му започват да го наричат Фибоначи (от figlio di Bonacci, "син на Боначи").

Бащата на Леонардо е официален представител на търговците от Пизанската република в Буджа, пристанище в днешен Алжир. През тези години Буджа е важно интелектуално средище и в града живеят видни арабски учени, като Абу Мадян и Абд ал-Хак ал-Ишбили. Като дете Леонардо живее там заедно с баща си, и още по това време се запознава с арабските цифри. След като установява, че аритметичните изчисления с арабски цифри са по-прости и ефективни, отколкото с римски цифри, Фибоначи предприема пътувания в Средиземноморието – Египет, Сирия, Сицилия, Прованс, Цариград, за да се учи при водещите математици от това време. Той се връща в Италия около 1200 г., а през 1202 г. публикува наученото в своята "Книга за смятането" ("Liber Abaci").

Популярността, която придобива с "Книга за смятането" и с успешното решаване на някои математически задачи, зададени от придворните математици на император Фридрих II, осигуряват на Фибоначи място в двора на владетеля, който пребивава главно в Южна Италия и покровителства математиката и природните науки. Издържан от него, през следващите години Фибоначи пише още няколко математически книги.

Почти няма свидетелства за живота на Фибоначи след 1228 г., а последното сведение за него е от 1240 г., когато Пизанската република отпуска парична пенсия на Леонардо Фибоначи за неговите заслуги към града в качеството му на съветник.

Книга за смятането

В "Книга за смятането" Фибоначи представя т.нар. "индийски метод", известен днес като арабски цифри. Книгата се застъпва за използването на десетична бройна система с позиционна номерация и демонстрира практическите преимущества на този метод, прилагайки решетъчно умножение и египетски дроби в счетоводството, преобразуването на единици за измерване, изчисляването на лихви и обменни курсове. Освен използването на арабските цифри, книгата включва и признаци за делимост, правила за изчисляване на квадратни и кубични корени, както и множество примерни задачи с техните решения. „Книга за смятането“ става популярна сред образованите кръгове в Западна Европа и оказва силно влияние върху развитието на западноевропейската мисъл.

Първоначално използването на арабските цифри е прието нееднозначно и дори през 1280 г. общината на Флоренция забранява тяхната употреба в банките. Смята се, че цифрата 0, която не съществува в системата на римските цифри, предизвиква объркване, а според някои дори служи за предаване на тайни съобщения.

"Книга за смятането" включва и решение на задача за нарастването на популацията от зайци при идеални условия. Решението за всяко следващо поколение образува редица от числа, наречени по-късно числа на Фибоначи. Тя е известна на индийските математици още през VI век, но именно Фибоначи популяризира тази идея на Запад.

Числата на Фибоначи

Числата на Фибоначи в математиката образуват редица, която се дефинира рекурсивно по следния начин:
F(0) = 0
F(1) = 1
F(n) = F(n-1) + F(n-2)
Започва се с 0 и 1, а всеки следващ член на редицата се получава като сума на предходните два. Първите числа на Фибоначи са:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...

Числата на Фибоначи и златното сечение

Едно от най-важните свойства на числата на Фибоначи е съществуването на т.н. коефициенти на Фибоначи, т.е. постоянни отношения на различни членове на реда. Те се определят по следния начин:
Отношението на всяко число към следващото се приближава към 0.61803...
Отношението на всяко число към предишното се приближава към 1.61803... (обратно на 0.618).
Числото 1.61803..., по точно \({1+\sqrt{5}}\over 2\), е прочутото ирационално число, наречено златно сечение. Означава се с главната гръцка буква Ф (фи).

Правоъгълници и спирали на Фибоначи

Можем да направим изображение, показващо реда на Фибоначи 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21..., като започнем с два малки квадрата със страна 1 един до друг. До тях се построява квадрат със страна 2 (=1+1), допиращ се до двата квадрата. Сега можем да направим нов квадрат със страна, допираща се до последния квадрат със страна 2 и до първия – новият ще има страна 3, следващият квадрат ще има страна 2 + 3 = 5 и т.н...

Можем да продължим да добавяме квадрати около изображението и всеки нов квадрат, ще има страна, която ще бъде сума от страните на последните два квадрата. Тази група правоъгълници, чиито страни имат дължина сбора на две последователни числа на Фибоначи и която се формира от квадрати със страни, които са числа на Фибоначи, се наричат правоъгълници на Фибоначи.

Ако във всеки от тези квадрати впишем по четвърт окръжност, ще получим спиралата на Фибоначи. Тази спирала не е истинска математическа логаритмична спирала, защото се съставя от фрагменти, но е добро приближение. Наричат я още спирала на Бернули, логаритмична спирала, равноъгълна спирала, и др. Такива спирали може да видим във формата на черупките на някои мекотели, а също и в подредбата на семената на цветовете на някои растения, семенниците на шишарките, ананаса, ухото и много други образувания. И коефициента на нарастване е често близък до 1.618.

Тази спирала е единствената, която запазва формата си при увеличаване на размерите. Това нейно свойство обяснява широкото ѝ разпространение в природните образувания. Например, когато морското главоного наутилус расте, неговата раковина, разделена с вътрешни преградни стенички, увеличава размерите си, като се навива по спирала.