Числото π е равно на отношението на дължината на дадена окръжност и дължината на нейния диаметър. Тогава най-очевидният начин да намерим нашата мистериозна константа е изчисляване на числото π по формулата $$π={C\over d}$$, където C е дължината на окръжността, а d е нейният диаметър.
Изберете диаметъра и натиснете бутона "Старт", за да начертаете окръжност. Разгънете окръжността, като издърпате плъзгача с мишката, докато стойността му стане 360°. Изчистете чертожната дъска, като натиснете бутона "Изчисти". Направете няколко опита.
Разгледаният метод на изчисление е най-простият, но ако измерването се извършва ръчно, има два съществени недостатъка, които влияят на точността на полученото число π. Първо, грешката при измерването, и второ, няма гаранция, че окръжността, която измерваме, има правилна форма. Математиката ни дава много други методи за изчисляване на π, при които няма нужда да правим точни измервания.
Стойността на π, която Архимед изчислява е не само по-точна, тя е първото теоретично, а не измерено изчисление на π. Методът на Архимед намира приближение на π, като изчислява периметъра на многоъгълник, вписан в окръжност (който е по-малък от дължината на окръжността) и периметъра на многоъгълник, описан около окръжността (който е по-голям от дължината ѝ). Стойността на π е между тези два периметъра. Като удвоява броя на страните на правилен шестоъгълник до правилен 12-ъгълник, след това 24-ъгълник, 48-ъгълник и 96-ъгълник, Архимед успява да приближи двата периметра все по-близо до дължината на окръжността.
Той получава, че π е по-малко от 3 1/7, но по-голямо от 3 10/71. В десетичната бройна система, която използваме днес, това означава по-малко от 3,1429, но по-голямо от 3,1408. Това е доста близо до известната стойност от 3,1416. (За по-голяма простота закръгляме числото до четири знака след десетичната запетая.)
Подобно на подхода на Архимед, нашият интерактивен метод не разчита на конкретни измервания. Диаметърът на окръжността е 1 м. ед. Също като подхода на Архимед, ние определяме дължината на страната на всеки триъгълник, на които е разделен многоъгълникът, спрямо диаметъра, въз основа на ъгъла, противоположен на измерената страна.
Нашият метод обаче се различава от подхода на Архимед по три ключови момента. Първо, използва алгебра и съвременна тригонометрия, които по времето на Архимед са били неизвестни – вместо това Архимед използва геометрия. Например, той е знаел отношението между страните в определени триъгълници и така е успял да намери периметъра на шестоъгълник.
Второ, ние използваме десетична бройна система, която е измислена стотици години след смъртта на Архимед. За да работят с нецели числа, древните математици са разчитали на отношения. Всеки калкулатор ще изчисли, че квадратният корен от 3 е 1,7321. За Архимед тази стойност е била 265/153 (което е равно на 1,7320).
И накрая, нашият интерактивен метод увеличава броя на страните на шестоъгълника до 96 чрез стъпки от 1, а не чрез удвояване, използвано от Архимед. Идеята е да ви дадем по-ясна представа за това колко по-близо до дължината на окръжността се доближава периметърът на правилните многоъгълници с всяка добавена страна.
Издърпайте плъзгача с мишката, за да промените броя на страните
Арябхата работи върху приближението за Пи и може би е разбрал, че Пи е ирационално число. Във втората част на Aryabhatiyam той пише
"Добавете четири към 100, умножете по осем и след това добавете 62 000. С това правило може да се приближи обиколката на кръг с диаметър 20 000."
С други думи, π = 62832/20000 = 3,1416, правилно до пет цифри.
Това екстравагантно име методът получава от едноименния град в кралство Монако. Методът се основава на случайни числа, а какво може да бъде по-случайно от числата, които се появяват в рулетките на казината в Монте Карло? Изчисляването на числото π не е единственото приложение на този метод. Даден е квадрат със страна, равна на 2r, и в него е вписана окръжност с радиус r. Ако случайно поставим точки в квадрата, вероятността P точката да попада в кръга е отношението на лицата на кръга и квадрата. $$P = {{S_{кр}\over S_{кв}}}={πr^2\over (2r)^2}={πr^2\over 4r^2}={π\over4}$$ От тук получаваме $$π=4P$$. Остава само да се получат експериментални данни и да се намери вероятността P като отношение на брой попадения в кръга - $$N_{кр}$$ към брой попадения в квадрата - $$N_{кв}$$. Най-общо формулата за изчисление ще изглежда по следния начин: $$π=4{N_{кр} \over N_{кв}}$$. Точността на резултатите ще зависи от броя на зададените точки, колкото повече точки, толкова по-точни резултати.
Моля, преместете показалеца на мишката върху тази област:
Има няколко безкрайни реда, които ни позволяват точно да изчислим числото π до голям брой десетични знаци.
5.1. Редът на Лайбниц. Един от най-простите редове е редът на Лайбниц. π = (4/1) - (4/3) + (4/5) - (4/7) + (4/9) - (4/11) + (4/13) - (4/15) ... Лесно е: вземаме дроби с числител 4 и знаменател число от редицата на нечетните числа, последователно ги добавяме и изваждаме помежду си и получаваме числото π. Колкото повече повторения направим, толкова по-точен е резултатът. Прост, но не ефективен, между другото, са необходими 500 000 повторения, за да се получи точната стойност на π с десет десетични знака.
5.2. Редът на Нилакант. Редът на Нилакант, въпреки че е малко по-сложен, ни позволява да постигнем желания резултат по-бързо.
π = 3 + 4 / (2 * 3 * 4) - 4 / (4 * 5 * 6) + 4 / (6 * 7 * 8) - 4 / (8 * 9 * 10) + 4 / (10 * 11 * 12) - (4 / (12 * 13 * 14) ...
Натиснете бутона "Старт", за да начертаете графика. От графиката се вижда, че приближението на Лайбниц се сближава по-бавно от приближението на Нилакант.
Редът на Нилакант бързо преминава към стойности, доста близки до π.
Числото π се изчислява по формулата:
$$π={x.sin\bigg({180°\over x}\bigg)}$$
Причината този начин за изчисляване на числото π да се нарича лимит е, защото резултатът от него е „ограничен“ до числото π. Колкото повече увеличавате число x, толкова повече резултатът ще се доближава до стойността на π.
Движете плъзгача за да променяте стойността на числото x.
